回生制動エネルギー利用を考慮した高速列車省エネ最適制御シミュレーションの研究（その１）

2017年 2月28日　王青元, 馮暁雲, 朱金陵, 梁志成（西南交通大学電気工程学院）

　中国内外ではすでに、多くの専門家や学者が、高速列車の省エネ最適化操縦についての研究を行っている［1-4］。文献［1-2］は、高速列車の操縦を離散量の形式で処理するもので、運転士の手動運転の指導には有利だが、車載制御器の連続制御と定速制御の機能に対する利用が不十分である。文献［3］は、高速列車のエネルギー消費の最小値という問題を、線路の速度制限や快適性などの制約を満たす一連の目標速度集合の追求という問題に転化したものである。その長所は、最適操縦案が車載制御器の目標速度制御モデルの十分な利用に有利であるという点にある。だが運行速度と区間運行距離に対して空間上の区分をしなければならず、最適解の精度が速度細分の影響を受けることから、速度の範囲が大きく、区間の運行距離が比較的長い高速列車にとっては、計算量が往々にして大きく、オフライン求解により適している。文献［4］は、制御量を連続量とし、高速列車の運動学モデルを構築し、最適化操縦に対する電力回生制動のエネルギー利用率の影響を研究したものである。だがモデルにおいて、牽引伝動系統の効率が考慮されていないことから、導き出されたアルゴリズムは電力回生制動利用率が1である際には適用することができない。

　またこれらの文献の列車制動力の定義には主に2種類ある。一つは、電力回生制動力を列車の総制動力とするものである［1-5］。これは、高速列車の電力回生制動力が不十分な際、空気制動力によって補足する実際の状況とは合致しない。もう一つは、列車の総制動力において、電力回生制動力を考慮しないものである［6-7］。すなわち電力回生制動のエネルギーの利用を考慮しないものであり、高速列車の運行過程における実際のエネルギー消耗を正確に表すことはできない。

　本稿は、文献［4,6］の研究を土台として、高速列車の車載制御の記述に適用される運動学モデルを構築し、実際の列車系統の効率と回生制動エネルギーの利用率をエネルギー消費関数に入れ、高速列車の省エネ最適制御問題についてのモデルを構築する。その後、ポントリャーギン最大値原理を応用し、高速列車の省エネ最適制御問題の必要条件と最適制御の動作セットを分析し、区間内の定時運行を実現できる高速列車の省エネ最適制御のスピード求解アルゴリズムを提起し、事例のシミュレーションを通じて、このアルゴリズムの正確性と適応性を検証した。

1 省エネ最適制御問題の記述

1.1 モデル仮説

　高速列車の省エネ最適制御問題の数学的記述を便利にするため、列車モデルに対し、次のような基本仮説を立てる：①列車の牽引特性と電気制動の特性に対する送電網の電圧変動の影響は考慮しない。②列車の運行・操縦に対するデッドセクションの影響を考慮しない。③空気制動の充填時間と緩和時間を考慮しない。④列車の総合制動特性は、列車の任意の位置における安全な減速を満たすことができるものとする。⑤列車の牽引力と制動力は制御量と車速に対して連続的なものとする。⑥列車の牽引伝動系統の機械効率は車速と制御量と無関係で、定数であるものとする。⑦回転質量係数を考慮した後の列車質量を単位1とし、列車の車体の平行移動加速度を計算する際には、列車の単位基本運行抵抗と線路の単位付加抵抗の公式を、回転質量係数を考慮した後の公式に修正する［8］。特に説明がなければ、以下の「列車」は高速列車を指す。

1.2 モデル記述

　列車は、実際の制動の過程において、制動の粘着の制限と乗客の快適性要求の制約を受ける。車載制御器には、多段階の制動減速度・速度制御の特性が備えられている。例えばCRH2型動車組（動力分散式列車）の常用制動は{1,2,…,7}の各段階を備え、各常用制動段階にはそれぞれ異なる制動減速度特性が対応している。列車の正常な運行過程において制動減速制御を行う際には、乗客が快適となるような段階が選択され、通常、3級から5級の制動が用いられる。車載制御器は、常用制動の指令に基づき、制動の減速度の要求を満たす列車制動力を計算し、加える。次の式によって示される。

　式中の各記号は次を示す。vは列車車速。aj^c（v）は、乗客快適性の制限を考慮したj級制動減速度。F_b（v）は、対応する列車制動力。

　制動過程で産出されるエネルギーを十分に利用し、空気制動によって引き起こされる機械装置の摩耗を引き下げるため、列車の制動は原則的に電力回生制動（以下「電気制動」）を優先的に使用し、電気制動力の不足部分を空気制動力によって補足する。そのメカニズムは式（2）と式（3）によって表される。

　式中の各記号は次を示す。F_d（v）とF_m（v）はそれぞれ、列車の最大電気制動力と最大空気制動力。μ_bとμ_dはそれぞれ、列車の総合制動動作と電気制動動作の下での制御係数、0≤μ_b≤1、0≤μ_d≤1。μ_mは、空気制動動作下の制御係数0≤μ_m≤1。

　式（2）と式（3）から次式が導き出される。

　列車の運行状態方程式は次のように記述される。

　式中の各記号は次を示す。F_t（v）とF₀（v）、F_s（v）はそれぞれ、列車最大牽引力と基本運行抵抗、線路付加抵抗［8］。μ_tは、列車牽引動作下の制御係数、0≤μt≤1。

　列車の全線の運行過程は、一連の隣接する区間の運行過程によって構成される。列車は各区間において、列車運行図の規定する運行時間に照らして、出発と中間速度調整、駅進入・停車を実現する。このため列車の定時の制約を満たす省エネ最適制御問題は次のように記述される。

　式（5）と式（6）に基づき、最適制御の動作シーケンスと最適速度曲線を求め、次を得る。

　このうち

　式中の各記号は次を示す。Jは、列車電気エネルギー消耗を考慮した目標関数である。x₀和x_fはそれぞれ区間の起点と終点。T₀とt_fはそれぞれ列車区間運行の開始時刻と終了時刻。Tは、列車運行図の規定する区間運行時間。v_lim（x）は線路の制限速度で、区分的定数関数である。η_tとη_dはそれぞれ、列車牽引動作と電気制動動作の下での列車全体の機械効率相当値であり、変圧器や変流器、モーター、歯車伝動装置などの効率の積であり、0＜η_t＜1、0＜η_d＜1となる。αは電気制動エネルギー利用率で、この値は、鉄道系統のエネルギー貯蔵装置の容量、牽引給電系統の容量、トポロジー、列車運営案などの多くの要素によって决定され、0≤α≤1となる。

2 省エネ最適制御の必要条件

　式（5）から式（7）を結合し、列車省エネ最適制御のハミルトン関数Hを構築する。このうちモデル中の不等式の制約は、緩和演算子Mの導入によって解决する［9］。

　このうち

　ハミルトン関数Hにおいては時間tが陽に含まれず、∂_H/∂_t=0であることから、式（9）と結合し、λ₁が定数であることがわかる。随伴変数σ=η_tλ₂/vを設け、式（8）を整理して次式を得る。

　式（11）と式（12）に基づくと、v（x）＜v_lim（x）の際にはdM/dx=0となる。

　ポントリャーギン最大値原理に基づき、σの値を7つの値の範囲に分け、最適制御動作を確定する。これには列車運行の最大牽引（Full Power、FP）、部分牽引（Partial Power、PP）、惰行（Coasting、C）、部分電気制動（Partial Electric Braking、PEB）、最大電気制動（Full Electric Braking、FEB）、部分総合制動（Partial Integrated Braking、PIB）、最大総合制動（Full Braking、FB）の7種の動作が対応する（表1）。

表1　列車運行動作と最適制御動作

随伴変数	運行動作	運行動作最適制御パラメータ
σ＞1	FP	μt＝1，	μd＝0，	μm＝0
σ＝1	PP	0≤μt≤1，	μd＝0，	μm＝0
αηdηt＜σ＜1	C	μt＝0，	μd＝0，	μm＝0
σ＝αηdηt	PEB	μt＝，	0≤μd≤1，	μm＝0
0＜σ＜αηdηt	FEB	μt＝0，	μd＝1，	μm＝0
σ＝0	PIB	μt＝0，	μd＝1，	0≤μm≤1
σ＜0	FB	μt＝0，	μd＝1，	μm＝1

　式（10）の解を次のように求める。

　σ=1とσ=αη_dη_t、σ=0は、列車の省エネ最適制御問題の3つの特異点となることから、以下においては、これらの3種の状況において列車の定時運行の省エネ最適制御を実現する必要条件を具体的に分析する。

2.1 部分牽引動作における最適制御

　σ=1の際にはλ₂=v/η_tであり、次式が得られる。

　σ=1の際には、0≤μ_t≤1。μ_d=0、μ_m=0であり、式（4）からμ_b=0が得られる。式（5）と式（14）、式（15）を結合することによって次式が得られる。

　Ψ（v）=v²F′₀（v）については、Ψ（v）が単調増加関数であることは明らかで［10］、v（x）＜v_lim（x）である時、式（16）には唯一の解が存在し、部分牽引動作における列車定速運行の最適保持速度v_c^*については次式が成り立つ。

2.2 部分電気制動動作における最適制御

　σ=αη_dη_tである時にはλ₂=αη_dvで、次式が得られる。

　2.1の分析過程と同様に次式が得られる。

　σ=αη_dη_tである時には、0≤μ_d≤1、μ_m=0であり、この列車の制動動作が電気制動を用いた車速保持に完全に依存し、同時にエネルギーを牽引給電網にフィードバックし、空気制動は使用しないことが示される。

　v（x）vlim（x）である時には、式（19）には唯一の解が存在し、部分電気制動動作の下での列車の定速運行の最適保持速度v_d^*については、次式が成り立つ。

2.3 部分総合制動動作における最適制御

　σ=0の時にはλ₂=0であり、次式が得られる。

　σ=0の時には、μ_d=1かつ0≤μ_c≤1であり、式（14）と式（21）を結合し、次式が得られる。

　v（x）＜v_lim（x）である時には、式（22）には唯一の解が存在し、部分総合制動動作の下での列車の定速運行の最適保持速度v_b^*については、F′d(vb*)＜0であれば、次式が成り立つ。

　列車の電気制動特性は一般的に、定トルクエリアまたは疑似定トルクエリアと定力エリアからなる。

　式中の各記号は次を示す。v_kは、定力ターニングポイントの車速。aとb、cそれぞれは定数係数で、b>0、c>0、定トルクエリアではa=0、疑似定トルクエリアではa＜0。

　さらなる分析を加えると、F′_d（v_b^*）＜0であることから、v_b^*は電気制動の定トルクエリアでは発生しない。電気制動の疑似定トルクエリアでは、F′_d（v_b^*）=a＜0であり、F′_d（v_b^*）＜0を満たすことができるが、この特性区域は低速エリアの範囲に属することから、列車が、最大電気制動力を含んだ部分総合制動動作を用いて定速運行を保持する際には、対応する下降勾配は、工学上の設計勾配値を大きく上回り、v_b^*は疑似制動定トルクエリアでは発生しない。

　列車が電気制動定力エリアにある時には、式（23）と式（24）を結合し、次式が得られる。

　部分総合制動制御動作は、λ₁とcが式（25）をちょうど満たす時に初めて発生する。だが線路が任意に与えられる列車運営案においては、このような状況が実際に発生する可能性は非常に小さく、無視できる。

2.4 非定速制御動作における速度曲線の線路速度制限への接触

　v（x）=v_lim（x）である時、Mは、正の飛躍が存在する可能性があり、λ₁は一定数であり、式（16）と式（19）、式（22）を結合することにより、3種の最適定速制御動作の実際の最適保持速度は、速度制限の制約を考えない最適保持速度と線路速度制限の二者のうちの小さい方である。そのため速度制限が定速運行最適保持速度よりも大きい時は、最適定速制御動作は速度制限箇所においては出現しない。線路速度制限の制約の下での部分牽引最適保持速度と部分電気制動最適保持速度をそれぞれ-v_c^*と-v_d^*とすると、次式が得られる。

　式（14）からは、列車が最大牽引や最大制動、惰行などの非定速制御動作を応用し、かつ列車の運行速度曲線が線路速度制限に接触する時には、λ2に正のジャンプが発生し得ることがわかる。さらにこれら3種の動作について、列車の車速が線路の速度制限に触れる際には、速度制限に触れる部分は点区域であることもわかる。

2.5 制動減速過程の区分最適制御

　列車が運行の前方において低速度制限（停車点はその特例とみなせる）に遭遇し、惰行動作を使用した制御では最適連接の必要条件を満たせない時には、制動の減速によって動作の制御を補足する必要がある。表1からは、減速制御動作が、最大電気制動動作と最大総合制動動作からなっていることがわかる。随伴変数の連続性に基づくと、制動減速過程は実際には2つの段階を含んでいる。第一の段階は、惰行動作に続き、随伴変数σ=αη_dη_tである際に最大電気制動動作へと切り替えるもの、第二の段階は、σ=0である際に最大総合制動動作に切り替えるものである。

　列車の省エネ最適制御の必要条件の分析・総括を通じて、以下の結論を得ることができる。

　（1）λ₁は、列車が区間内で省エネ最適運行をする際、部分牽引動作が最適保持速度v_c^*で定速運行し、部分電気制動動作が最適保持速度vd*で定速運行するための直接决定パラメータである。このためλ1は、区間運行速度の物理量を表し、与えられた区間時間の列車運行に対する基本的な制約を体現するものとなる。

　（2）鉄道時刻表の規定する区間運行時間と列車の車型は無関係であること、工学的に実際に実施される線路の条件を考えれば、部分総合制動の定速制御動作は、列車の実際の運行過程における最適制御シーケンスにおいては出現しない。

　（3）α≠0である際には、v_d^*はλ₁とαによって共同で確定され、v_d^*とv_c^*との間には定量関係が存在する。列車の系統効率と電気制動エネルギー利用率の存在から、v_d*>v_c^*であることがわかる。極端な状況においては、列車系統の転換と伝達の過程におけるエネルギーの損失を考慮せず、すべてのフィードバックエネルギーが利用されると考えれば、v_d^*=v_c^*であり、この時には、最適動作シーケンスにおいては、惰行動作はもはやなくなる。この極端な状況は理論的には成立するが、実際の物理的な系統においては適用されない。

　（4）α=0である時には、v_d^*とv_b^*は存在せず、問題は、電気制動フィードバックエネルギーを考慮しないまたは電気制動エネルギーが利用できない時の列車の省エネ最適制御へと転化することができる。文献［6-7］で記述された最適制御問題とその結論は、本稿が記述する列車省エネ最適制御問題の特例である。線路の速度制限を考慮しない、または与えられた区間の運行時間が十分に長く線路の速度制限が列車の運行動作に影響をもたらさない時には、部分電気制動動作と最大電気制動動作は、最適動作シーケンス表から完全に消える。これは文献［10］の理論分析と一致する。

　上述の結論は、本稿が提起する列車最適制御問題モデルが理論分析の面で、制御量が連続状況とした列車省エネ最適制御問題の統一を実現したことを示している。一般状況のける列車運行過程の最適化の研究においては、0≤α≤1, 0＜η_t＜1, 0＜η_d＜1であり、これに対応する最適制御動作セットは{FP, PP, C, PEB, FEB, FB}である。

（その２へつづく）

※本稿は王青元, 馮暁雲, 朱金陵, 梁志成「考慮再生制動能量利用的高速列車節能最優控制倣真研究」（『中国鉄道科学』第36卷第1期、2015年1月、pp.96-103）を『中国鉄道科学』編集部の許可を得て日本語訳・転載したものである。記事提供：同方知網（北京）技術有限公司